Действительно, в случае если Вы зарегистрируетесь в данной квартире и будите в ней проживать, то после смерти ответственного квартиросъемщика собственник квартиры (муниципалитет как правило) должен будет заключить с Вами договор социального найма и Вы становитесь ответственным квартиросъемщиком. Однако в таком случае возможны различные варианты, которые не гарантируют Вам именно такого развития событий. Как правило, пожилые люди много обещают, но сделать могут совершенно по иному, например, кроме Вас прописать еще какого-нибудь своего родственника, а то и не одного. Потом доказывай, что у Вас были договоренности. Все такие договоренности юридической силы не имеют. А может женщина приватизирует квартиру и после смерти квартира достанется наследникам, а не Вам. И это только два самых очевидных риска, могут быть и иные варианты, результатом которых будет, что Вы ухаживаете за бабушкой, а после ее смерти ничего не получаете.
Есть другой вариант, более надежный: бабушка приватизирует квартиру и вы заключаете между собой договор ренты с пожизненным иждивением. По этому договору квартира передается Вам в собственность, а у бабушки сохраняется пожизненное право проживания в данной квартире + уход + материальная помощь. Конечно, есть бабушки, которые в последствии в суде пытаются отказаться от такого договора, но в данном случае необходимо грамотно составлять такой договор и страховать себя от подобного рода действий со стороны бабушки.
Еще вариант, для Вас самый оптимальный: квартира приватизируется бабушкой, передается Вам в собственность путем дарения и Вы за ней ухаживаете.